Via Automation - un breve tour del controllo automatico: Punti fissi e caffè

Ora, se osserviamo un caffè appena preparato, vediamo sulla superficie dei bei motivi e dei vortici in movimento. Si tratta di un sistema dinamico affascinante, proprio davanti ai nostri occhi. Un sistema dinamico che mostra tutti i tipi di fenomeni fisici fondamentali [1]. Un sistema dinamico strettamente correlato a uno dei principali problemi aperti della

fisica matematica, ovvero la comprensione delle soluzioni alle famigerate equazioni di Navier-Stokes.

Le equazioni di Navier-Stokes descrivono il flusso dei fluidi, proprio come la più famosa (seconda) legge di Newton descrive il moto di una massa. Tuttavia, le equazioni di Navier-Stokes sono significativamente più difficili da comprendere, poiché richiedono l'utilizzo di un numero considerevolmente maggiore di variabili, ad esempio le densità. Ciò che queste equazioni hanno in comune è che sono equazioni differenziali, il che significa che descrivono un cambiamento istantaneo. Quindi, quando si lascia cadere una palla, le equazioni di Newton descrivono le forze che agiscono sulla palla, ma se si desidera ottenere la traiettoria effettiva della palla che cade, è necessario "risolvere" le equazioni differenziali. È necessario trovare una "soluzione" alle equazioni differenziali, date alcune condizioni iniziali. Questo è chiaramente molto più difficile per un fluido che per una palla rigida.

Nel caso delle equazioni di Navier-Stokes, è proprio qui che si presentano alcuni problemi irrisolti. Possiamo scrivere le equazioni differenziali, ma esiste sempre una soluzione? Al di là della previsione del movimento del caffè, pensiamo a tutti i problemi della scienza del clima che riguardano i fluidi (correnti oceaniche e alisei, solo per citare due esempi). Comprendere rigorosamente la dinamica è di grande importanza in questo campo. La versione 3D di questo problema (ovvero la comprensione di tutte le soluzioni alle equazioni di Navier-Stokes 3D) è ancora una questione aperta nella scienza [2], mentre la versione 2D è ben compresa [3]. In questo caso ne sappiamo abbastanza per avere soluzioni ben definite.

Possiamo interpretare la superficie del caffè come un fluido bidimensionale. Questo, a parte le bolle, significa che la matematica ci dice che questi motivi che vediamo sulla superficie del nostro caffè sono in continua evoluzione. Chiaramente, ciò è in linea con l'esperienza.

È interessante notare che proprio questa osservazione rivela che il caffè mostra qualcosa di più della fisica. Infatti, è possibile fare un semplice esperimento che cattura un altro concetto tecnico molto interessante. Questa volta, un concetto matematico. Se si scattano due foto della superficie vorticosa del caffè e le si confronta, almeno un punto non si è mosso. Sempre. In questo caso, osserviamo fisicamente un punto fisso, una

nozione matematica di grande importanza, anche per il controllo automatico. Matematicamente, se abbiamo una mappa (una funzione) f, allora x è un punto fisso quando f(x)=x.

Per essere più precisi, se pensiamo alla progressione temporale come a una mappa, la figura sopra mostra una mappa dal disco su sé stesso ad un tempo successivo(da tempo=0 a tempo=T). Tuttavia, poiché questi punti si muovono insieme al caffè, non si tratta di una mappa qualsiasi, ma di una mappa continua, come descritto sopra. Ciò significa che possiamo fare riferimento al teorema del punto fisso di Brouwer, secondo cui una mappa continua dal disco a sé stesso deve avere un punto fisso [4].

Comprendere l'esistenza dei punti fissi è di fondamentale importanza in tutta la matematica. Per noi, i punti fissi aiutano in genere a cogliere la soluzione ottimale o una qualche forma di stabilità.

Per fornire un'idea intuitiva dell'ultima affermazione, immaginiamo di avere accesso a un oracolo magico che ci dice dove muoverci per trovare una pozza d'acqua. Supponiamo che questo oracolo fornisca aggiornamenti di massimo 1 metro. All'inizio potrebbe dirci di andare 1 metro a sinistra, poi dritto, poi di nuovo a sinistra e così via. A un certo punto l'oracolo dirà che dodobbiamo muoverci di 0 metri, ovverorimanere dove siamo! In altre parole, l'oracolo mappa la vostra posizione attuale su sé stessa. Siete in un punto fisso! E nell'acqua.

Approfondiremo l'uso dei punti fissi nel prossimo post, quando pianificheremo il nostro percorso verso la cima.

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Riferimenti:

1. Una panoramica piuttosto ampia su "Meccanica dei fluidi culinaria e altre correnti nella scienza alimentare" è disponibile qui: https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.95.025004.
2. È possibile vincere un premio molto importante risolvendo questo problema: https://en.wikipedia.org/wiki/Millennium_Prize_Problems#Navier–Stokes_existence_and_smoothness. Vedi anche https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2022/06/navierstokes.pdf

3. Vedi questa eccellente e recente panoramica di Vladimir Šverak https://www.youtube.com/watch?v=BaDxv5Z4LkU
4. Si veda questo testo di Hirsch per una dimostrazione elegante https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4684-9449-5. Per quanto riguarda Brouwer stesso, il recente libro "The Great Math War: How Three Brilliant Minds Fought for the Foundations of Mathematics" di Jason Socrates Bardi contiene una prospettiva storica molto intrigante.