Via Automation - petit tour d'horizon du contrôle automatique: Points fixes et café

Si vous observez un café fraîchement préparé, vous verrez apparaître de magnifiques motifs et tourbillons. Il s'agit d'un système dynamique fascinant, juste sous vos yeux. Un système dynamique qui illustre toutes sortes de phénomènes physiques fondamentaux [1]. Un système dynamique étroitement lié à l'un des principaux problèmes ouverts de la physique, à savoir la compréhension des solutions aux célèbres équations de Navier-Stokes.

Les équations de Navier-Stokes décrivent l'écoulement d'un fluide, tout comme la plus célèbre (deuxième) loi de Newton décrit le mouvement d'une masse. Cependant, les équations de Navier-Stokes sont nettement plus difficiles à manipuler, car elles impliquent un nombre considérablement plus élevé de variables, telles que les densités. Ces équations ont en commun le fait qu'il s'agit d'équations différentielles, ce qui signifie qu'elles décrivent un changement instantané. Ainsi, lorsque l'on lâche une balle, les équations de Newton décrivent les forces qui s'exercent sur la balle, mais si l'on veut obtenir la trajectoire réelle de la balle qui tombe, il faut « résoudre » les équations différentielles. Il faut trouver une « solution » aux équations différentielles, étant donné certaines conditions initiales. Cela est clairement beaucoup plus difficile pour un fluide que pour une balle rigide.

Dans le cas des équations de Navier-Stokes, c'est précisément là que certains problèmes restent en suspens. Nous pouvons écrire les équations différentielles, mais existe-t-il toujours une solution ? Vous pouvez imaginer que cela a des répercussions sur notre compréhension de la physique. Au-delà de la prédiction du mouvement du café, pensez à tous les problèmes de la science du climat liés aux fluides (les courants océaniques et les alizés, pour ne citer que deux exemples). Il est donc très important de comprendre rigoureusement la dynamique. Cela peut paraître surprenant, mais la version 3D de ce problème (c'est-à-dire la compréhension de toutes les solutions aux équations de Navier-Stokes en 3D) reste une question ouverte en science [2], alors que la version 2D est bien comprise [3]. Dans ce cas, nous en savons suffisamment pour avoir des solutions satisfaisantes.

En effet, nous pouvons interpréter la surface de votre café comme un fluide en 2D. Cela signifie, mis à part les bulles, que les mathématiques nous indiquent que les motifs que nous voyons dans notre café évoluent continuellement. Cela correspond clairement à notre expérience.

Il est intéressant de noter que cette observation révèle que votre café ne se limite pas à la physique. En fait, vous pouvez réaliser une expérience simple qui met en évidence un autre concept technique très influent. Cette fois-ci, il s'agit d'un concept mathématique. Si vous prenez deux photos de la surface tourbillonnante de votre café et que vous les comparez, au moins un point n'a pas bougé. Toujours. Dans ce cas, nous observons physiquement un point fixe, une notion mathématique d'une grande importance, également pour le contrôle automatique. Mathématiquement, si nous avons une application (une fonction) f, alors x est un point fixe lorsque f(x)=x.

Pour préciser, lorsque nous considérons la progression du temps comme une carte, ce qui précède représente une carte du disque vers lui-même (de temps=0 à temps=T). Cependant, comme ces points se déplacent avec le café, il ne s'agit pas d'une carte quelconque, mais d'une carte continue, comme indiqué ci-dessus. Cela signifie que nous pouvons faire appel au théorème du point fixe de Brouwer, qui stipule qu'une carte continue du disque vers lui-même doit avoir un point fixe [4].

Comprendre l'existence des points fixes est d'une importance capitale en mathématique. Pour nous, les points fixes aident généralement à saisir l'optimalité ou une certaine forme de stabilité.

Pour mieux comprendre cette dernière affirmation, imaginez que vous ayez accès à un oracle magique qui vous indique où vous déplacer pour trouver une mare d'eau. Supposons que cet oracle ne fournisse que des informations précises à 1 mètre près. Il pourrait d'abord vous dire d'aller 1 mètre vers la gauche, puis tout droit, puis à nouveau vers la gauche, et ainsi de suite. À un moment donné, l'oracle vous dira que vous devez vous déplacer de 0 mètre. Restez où vous êtes ! En d'autres termes, l'oracle vous indique que vous êtes à votre position actuelle. Vous êtes à un point fixe ! Et dans l'eau.

Nous reviendrons plus en détail sur l'utilisation des points fixes dans le prochain article, lorsque nous planifierons notre ascension vers le sommet.

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Références:

1. Vous trouverez ici un aperçu assez complet de la « Mécanique des fluides culinaire et autres courants dans les sciences alimentaires» est disponible ici : https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.95.025004.
2. Vous pouvez remporter un prix très important en résolvant ce problème : https://en.wikipedia.org/wiki/Millennium_Prize_Problems#Navier–Stokes_existence_and_smoothness. See also https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2022/06/navierstokes.pdf

3. Consultez cet excellent aperçu récent de Vladimir Šverak https://www.youtube.com/watch?v=BaDxv5Z4LkU
4. Voir ce texte de Hirsch pour une preuve élégante https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4684-9449-5. En ce qui concerne Brouwer lui-même, le livre récent « The Great Math War: How Three Brilliant Minds Fought for the Foundations of Mathematics » (La grande guerre des mathématiques : comment trois esprits brillants se sont battus pour les fondements des mathématiques) de Jason Socrates Bardi offre une perspective historique très intrigante.