Via Automation – eine kleine Tour durch die Regelungstechnik: Fixpunkte und Kaffee

Wenn Sie sich nun einen frisch gebrühten Kaffee ansehen, werden Sie die schönsten Bewegungsmuster und Wirbel erkennen. Dies ist ein faszinierendes dynamisches System, direkt vor Ihren Augen. Ein dynamisches System, das alle möglichen grundlegenden physikalischen Phänomene zeigt [1]. Ein dynamisches System, das eng mit einem der wichtigsten offenen Probleme der mathematischen Physik, nämlich dem Verständnis der Lösungen der berüchtigten Navier-Stokes-Gleichungen.

Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Strömung von Flüssigkeiten, genauso wie Newtons bekannteres (zweites) Gesetz die Bewegung einer Masse beschreibt. Allerdings sind die Navier-Stokes-Gleichungen deutlich schwieriger zu handhaben, da wir mit wesentlich mehr Variablen arbeiten müssen, z. B. mit Dichten. Diese Gleichungen haben gemeinsam, dass es sich um Differentialgleichungen handelt, d. h. sie beschreiben momentane Veränderungen. Wenn man also einen Ball fallen lässt, beschreiben Newtons Gleichungen die auf den Ball einwirkenden Kräfte, aber wenn man die tatsächliche Flugbahn des fallenden Balls erhalten möchte, muss man die Differentialgleichungen „lösen”. Man muss eine „Lösung” für die Differentialgleichungen finden, wobei bestimmte Anfangsbedingungen gegeben sind. Dies ist bei einer Flüssigkeit natürlich viel schwieriger als bei einem starren Ball.

Im Falle der Navier-Stokes-Gleichungen gibt es genau hier einige offene Probleme. Wir können die Differentialgleichungen aufschreiben, aber gibt es immer eine Lösung? Sie können sich vorstellen, dass dies Auswirkungen auf unser Verständnis der Physik hat. Denken Sie über die Vorhersage der Bewegung von Kaffee hinaus an all die Probleme in der Klimawissenschaft, die mit Flüssigkeiten zu tun haben (Meeresströmungen und Passatwinde, um nur zwei Beispiele zu nennen). Ein genaues Verständnis der Dynamik ist hier von grosser Bedeutung. Überraschenderweise ist die 3D-Version dieses Problems (d. h. das Verständnis aller Lösungen der 3D-Navier-Stokes-Gleichungen) in der Wissenschaft noch immer eine offene Frage [2], während die 2D-Version gut verstanden ist [3]. Dort wissen wir genug, um gut funktionierende Lösungen zu haben.

Tatsächlich können wir die Oberfläche Ihres Kaffees als eine zweidimensionale Flüssigkeit interpretieren. Abgesehen von den Blasen bedeutet dies, dass diese Muster, die wir in unserem Kaffee sehen, sich laut Mathematik kontinuierlich weiterentwickeln. Dies stimmt eindeutig mit unserer Erfahrung überein.

Interessanterweise zeigt genau diese Beobachtung, dass Ihr Kaffee mehr als nur Physik widerspiegelt. Tatsächlich können Sie ein einfaches Experiment durchführen, das ein weiteres sehr einflussreiches technisches Konzept verdeutlicht. Diesmal handelt es sich um ein mathematisches Konzept. Wenn Sie zwei Fotos von der wirbelnden Oberfläche Ihres Kaffees machen und diese vergleichen, hat sich mindestens ein Punkt nicht bewegt. Immer. In diesem Fall beobachten wir physikalisch einen Fixpunkt, einen

Ein mathematischer Begriff von grosser Bedeutung, auch für die Regelungstechnik. Mathematisch gesehen ist x ein Fixpunkt, wenn f(x)=x, wobei f eine Abbildung (eine Funktion) ist.

Um dies näher zu erläutern: Wenn wir uns den Zeitverlauf als eine Abbildung vorstellen, dann zeigt das Obige eine Abbildung von der Scheibe auf sich selbst (von Zeit=0 bis Zeit=T). Da sich diese Punkte jedoch zusammen mit dem Kaffee bewegen, handelt es sich nicht um eine beliebige Abbildung, sondern um eine stetige Abbildung, wie oben dargelegt. Das bedeutet, dass wir uns auf den Fixpunktsatz von Brouwer berufen können, der besagt, dass eine stetige Abbildung von der Scheibe auf sich selbst einen Fixpunkt haben muss [4].

Das Verständnis der Existenz von Fixpunkten ist in der gesamten Mathematik von grösster Bedeutung. Für uns helfen Fixpunkte in der Regel dabei, Optimalität oder eine Form von Stabilität zu erfassen.

Um eine Vorstellung von der letzten Behauptung zu bekommen, stellen Sie sich vor, Sie hätten Zugang zu einem magischen Orakel, das Ihnen sagt, wohin Sie sich bewegen müssen, um eine Wasserstelle zu finden. Nehmen wir an, dieses Orakel gibt Ihnen nur Aktualisierungen von maximal 1 Meter. Zuerst wird Ihnen vielleicht gesagt, Sie sollen 1 Meter nach links gehen, dann geradeaus, wieder nach links und so weiter. Irgendwann sagt Ihnen das Orakel, dass Sie sich 0 Meter bewegen sollen. Bleiben Sie, wo Sie sind! Anders ausgedrückt: Das Orakel ordnet Ihre aktuelle Position sich selbst zu. Sie befinden sich an einem festen Punkt! Und im Wasser.

Wir gehen im nächsten Beitrag näher auf die Verwendung von Fixpunkten ein, wenn wir unseren Weg nach oben planen.

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Referenzen:

1. Eine ziemlich ausführliche Übersicht über „Kulinarische Strömungsmechanik und andere Strömungen in der Lebensmittelwissenschaft“ finden Sie hier: https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.95.025004.
2. Sie können einen sehr grossen Preis gewinnen, wenn Sie dieses Problem lösen: https://en.wikipedia.org/wiki/Millennium_Prize_Problems#Navier–Stokes_existence_and_smoothness. Siehe auch https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2022/06/navierstokes.pdf

3. Siehe diesen ausgezeichneten und aktuellen Überblick von Vladimir Šverak https://www.youtube.com/watch?v=BaDxv5Z4LkU
4. Siehe diesen Text von Hirsch für einen eleganten Beweis https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4684-9449-5. Was Brouwer selbst betrifft, so enthält das aktuelle Buch „The Great Math War: How Three Brilliant Minds Fought for the Foundations of Mathematics” von Jason Socrates Bardi eine sehr interessante historische Perspektive.